NOÇÕES DE PROBABILIDADES

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IV. Modelos de Probabilidade discretos e contínuos

Parte 50 de 78

Modelos de probabilidade discretos

Comentário 2 – Será que no caso do exemplo das rifas, estamos nas condições exigidas para modelar o fenómeno aleatório em causa, utilizando o modelo geométrico, como fizemos?

Na realidade, as extracções sucessivas das rifas, sem reposição, não são exactamente provas independentes já que a composição da população fica alterada, de prova para prova, quando fazemos as extracções sucessivas e assim, a probabilidade de obtermos uma rifa premiada numa extracção, depende do que se obteve nas extracções anteriores! Mas, se como também dissemos, tivermos uma população suficientemente grande, esta não fica significativamente alterada pelo facto de lhe tirarmos alguns elementos!
Não esqueça: Todos os modelos são maus, alguns são úteis!

Na prática, podemos admitir que temos uma população suficientemente grande, quando a dimensão da amostra retirada for inferior a 5% da dimensão da população (Alguns autores consideram 10% em vez de 5%, para que as provas já possam ser consideradas independentes), ou dizendo de outra forma, quando a dimensão N, da população, for superior a 20 vezes a dimensão n, da amostra a recolher: N≥20 ×n.

A determinação do valor médio deste modelo Geom(p), envolve alguns cálculos matemáticos, nomeadamente o cálculo da soma de séries geométricas, não acessíveis a todos os leitores destas páginas. Assim, deixamos, sem o justificar, o seguinte resultado:

Se X tem a f.m.p. dada pelo modelo Geom(p), então:

Sugestão:

Utilizando o Excel, obtenha, por simulação, um valor aproximado para o valor médio anterior

Determinação, por simulação, do valor médio (ou valor esperado) para o número de provas necessárias até se obter sucesso, quando a probabilidade de sucesso é p

Vamos utilizar o Excel, para simular a experiência que consiste em seleccionar elementos de uma população infinita, em que em cada prova (selecção de um elemento) se pode verificar “sucesso” ou “insucesso”. Consideramos como sucesso, a extracção de um elemento da população, com a característica pretendida. Admitimos que a percentagem de sucessos nesta população, é de 10% (poderia ser outro valor qualquer p, com 0<p<1).

A metodologia que utilizámos, foi a seguinte:

1. Seleccionar a opção de menu Tools [Ferramentas] / Data Analysis [Análise de dados] / Random Number Generation [Geração de número aleatório]
Em cada uma das 200 linhas 2 a 201, gerámos 50 números aleatórios, com distribuição uniforme*, no intervalo (0,1).

2. Fixando-nos numa das linhas anteriormente consideradas, os 50 números aleatórios inseridos nas colunas B a AO, foram utilizados para simular a experiência que consiste em retirar elementos de uma população, em que a percentagem de “sucessos”, é de 10%, do seguinte modo:

Se o número aleatório for inferior a 0.1, simulamos a saída de um sucesso, que representamos por 1;
Caso contrário, simulamos a saída de um insucesso e representamos por 0.

Porque é que, em cada realização da experiência, simulámos 50 extracções e não outro valor qualquer? A razão foi a seguinte:
estamos interessados em obter o número de provas (extracções) necessárias até se verificar sucesso pela primeira vez. Com uma percentagem de sucessos de 10%, começámos por simular 30 extracções, tendo concluído que, ocasionalmente, 30 extracções não eram suficientes para se obter 1 sucesso.
Experimentámos então com 50 provas, e verificámos que nas 200 repetições da experiência, sempre se verificou, pelo menos, 1 sucesso. Obviamente que em cada realização da experiência, poderíamos sempre ir simulando as extracções até obter sucesso, e quase nunca seria necessário simular 50 extracções. No entanto quisemos mecanizar o mais possível o processo e foi essa a razão que nos levou a conduzir a simulação desta forma.

3. Para cada realização da experiência, fomos verificar o número de provas necessárias até se obter sucesso (incluindo a prova em que se obteve sucesso). Na figura ao lado pode observar os resultados obtidos.
4. Obtivemos o valor de 9,8 para a média do número de provas necessárias até se obter sucesso. Este valor é uma estimativa do valor médio da variável aleatória que dá o número de provas necessárias até se obter sucesso, quando a percentagem de sucessos é de 10% e as provas são independentes.
Recordemos que, de acordo com o que dissemos anteriormente sobre valor médio de um modelo geométrico, Geom(0.1), E(X) = 10.

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